Kim tự tháp Kheops ở Ai Câpp có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m

20/22

Kim tự tháp Kheops ở Ai Câpp có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m , các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và (SBC).

Kim tự tháp Kheops ở Ai Câpp có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m (ảnh 1)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Kim tự tháp Kheops ở Ai Câpp có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m (ảnh 2)

Gọi O là giao điểm của AC và BD . Suy ra O là trung điếm của ${\rm{AC}},{\rm{BD}}$.

Vì các tam giác SAC, SBD đều cân tại S, SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao.

Suy ra $SO \bot AC$, $SO \bot BD$ nên $SO \bot (ABCD)$.

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Vi ABCD là hình vuông cạnh 230 m nên ${\rm{OA}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = {\rm{OD}} = 115\sqrt 2 $.

Xét tam giác SOB vuông tại $O$, có $SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {{{219}^2} - {{(115\sqrt 2 )}^2}} = 7\sqrt {439} $

Ta có $A( - 115\sqrt 2 ;0;0),B(0; - 115\sqrt 2 ;0),C(115\sqrt 2 ;0;0),S(0;0;7\sqrt {439} )$

Ta có $\vec{S A} = (- 115 \sqrt{2}; 0; - 7 \sqrt{439}), \vec{S B} = (0; - 115 \sqrt{2}; - 7 \sqrt{439})$ $\begin{array}{l} \vec{S C} = (115 \sqrt{2}; 0; - 7 \sqrt{439}) \\ Ta có [\vec{S A}, \vec{S B}] = (|\begin{matrix} 0 & - 7 \sqrt{439} \\ - 115 \sqrt{2} & - 7 \sqrt{439} \end{matrix}|, |\begin{matrix} - 7 \sqrt{439} & - 115 \sqrt{2} \\ - 7 \sqrt{439} & 0 \end{matrix}|, |\begin{matrix} - 115 \sqrt{2} & 0 \\ 0 & - 115 \sqrt{2} \end{matrix}|) \\ = (- 805 \sqrt{878}; - 805 \sqrt{878}; 26450) \end{array}$ $[\vec{S B}, \vec{S C}] = (|\begin{matrix} - 115 \sqrt{2} & - 7 \sqrt{439} \\ 0 & - 7 \sqrt{439} \end{matrix}|, |\begin{matrix} - 7 \sqrt{439} & 0 \\ - 7 \sqrt{439} & 115 \sqrt{2} \end{matrix}|, |\begin{matrix} 0 & - 115 \sqrt{2} \\ 115 \sqrt{2} & 0 \end{matrix}|) = (805 \sqrt{878}; - 805 \sqrt{878}; 26450)$

Mặt phắng (SAB) nhận $\vec{n} = \frac{1}{5} [\vec{S A}, \vec{S B}] = (- 161 \sqrt{878}; - 161 \sqrt{878}; 5290)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phắng (SBC) nhận $\vec{n^{'}} = \frac{1}{5} [\vec{S B}, \vec{S C}] = (161 \sqrt{878}; - 161 \sqrt{878}; 5290)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó

$\begin{array}{l} \cos ((S A B), (S B C)) = \frac{|- {(161 \sqrt{878})}^{2} + {(161 \sqrt{878})}^{2} + 5290^{2}|}{\sqrt{{(- 161 \sqrt{878})}^{2} + {(- 161 \sqrt{878})}^{2} + 5290^{2}} \cdot \sqrt{{(161 \sqrt{878})}^{2} + {(- 161 \sqrt{878})}^{2} + 5290^{2}}} \\ = \frac{5290^{2}}{{(161 \sqrt{878})}^{2} + {(- 161 \sqrt{878})}^{2} + 5290^{2}} \approx 0,3807 \end{array}$

Suy ra $((S A B), (S B C)) \approx {67,6}^{°}$ . Vậy góc giữa hai mặt phắng (SAB) và (SBC) khoảng ${67,6}^{°}$