Kí hiệu S(n) là tổng các chữ số nguyên dương n. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho S(n).S(n + 1) = 87.

S(n).S(n + 1) = 3.29 = 1.87

- Nếu S(n) = 1⇒ n có dạng 100...0100...0 

⇒ S(n + 1) = 2 ≠ 87 (loại)

⇒ S(n).S(n + 1) = 3.29

Gọi n có dạng a1a2....ak¯ai∈ℕ;a1≠0

Nếu a_k ≠ 9

⇒ S(n + 1) = S(n) +1

⇒ S(n) và S(n + 1) luôn khác tính chẵn lẻ 

⇒ S(n).S(n+1) là một số chẵn, mà 87 lẻ ⇒ loại

⇒ a_k = 9

Suy ra: S(n) > S(n + 1)

⇒ Sn=29Sn+1=3

⇒ S(n) - S(n + 1) = 29 – 3 = 26

Giả sử tận cùng bằng x số 9 

Suy ra: n=A999...9¯ với A có tận cùng khác 9

⇒ n + 1 = B0...0¯ (x số 0 và B = A + 1)

⇒ Sn=SA+9xSn+1=SB=SA+1=SA+1

⇒ S(n) − S(n+1) = 9x – 1 = 26

Suy ra: x = 3.

Vậy n=A999¯ ⇒ S(n) = S(A) + 27 = 29

⇒ S(A) = 2

Mà n nhỏ nhất khi A nhỏ nhất, ta có số nhỏ nhất có tổng các chữ số bằng 2 là 2 

⇒ A = 2

⇒ n = 2999.