Kí hiệu ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = e^x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = ln 4 . Đường thẳng x = k ( 0 < k < ln 4 ) chia ( H ) thành hai phần H 1 , H 2
79/100
Kí hiệu \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = {e^x}\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = \ln 4\). Đường thẳng \(x = k(0 < k < \ln 4)\) chia \((H)\) thành hai phần \({H_1},{H_2}\) như hình vẽ bên. Khi quay \({H_1},\,\,{H_2}\) quanh trục hoành ta được hai khối tròn xoay có thể tích tương ứng là \({V_1},{V_2}\). Giá trị của \(k\) bằng bao nhiêu để \({V_1} = 2{V_2}\)?
\(k = \ln 3\).
\(k = \frac{1}{2}\ln 3\).
\(k = \frac{1}{2}\ln 11\).
\(k = \frac{1}{4}\ln 11\).
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\({V_1} = \pi \int\limits_0^k {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}\;{\rm{d}}x} ;\,\,{V_2} = \pi \int\limits_k^{\ln 4} {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}\;{\rm{d}}x} \)
\({V_1} = 2{V_2} \Leftrightarrow \pi \int\limits_0^k {{e^{2x}}\;{\rm{d}}x} = \left. {2\pi \int\limits_k^{\ln 4} {{e^{2x}}\;{\rm{d}}x} \Leftrightarrow \frac{1}{2}{e^{2x}}} \right|_0^k = \left. {2.\frac{1}{2}{e^{2x}}} \right|_k^{\ln 4}\)
\( \Leftrightarrow {e^{2k}} - {e^0} = 2.{e^{2\ln 4}} - 2{e^{2k}}\)
\( \Leftrightarrow 3{e^{2k}} = 33\)
\( \Leftrightarrow {e^{2k}} = \frac{{33}}{3} \Leftrightarrow 2k = \ln 11 \Leftrightarrow k = \frac{1}{2}\ln 11\)
Chọn C