Khối tứ diện ABCD có cạnh AB = CD = a, độ dài tất cả các cạnh còn lại bằng b, 2b^2 > a^2

49/50

Khối tứ diện ABCD có cạnh \[AB = CD = a\], độ dài tất cả các cạnh còn lại bằng b, \(\left( {2{b^2} > {a^2}} \right)\). Thể tích V của khối tứ diện đó là

\(\frac{1}{3}{a^2}.\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} \)

\(\frac{1}{6}{a^2}.\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} \)

\(\frac{1}{{12}}{a^2}.\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} \)

\(\frac{1}{{18}}{a^2}.\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} \)

Giải thích

Đáp án B

Phương pháp:

Thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3}Sh\)

Cách giải:

Khối tứ diện ABCD có cạnh AB = CD = a, độ dài tất cả các cạnh còn lại bằng b, 2b^2 > a^2 (ảnh 1)

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của CD, AB. Kẻ AH vuông góc với BE tại H.

Theo đề bài ta có: \(AB = CD = a,\,\,BC = BD = AC = AD = b\)

\( \Rightarrow AE = BE = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{a}} \)

Ta có: \({S_{\Delta BCD}} = \frac{1}{2}BE.CD = \frac{1}{2}.\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} .a\)

\[{\rm{EF}} = \sqrt {B{E^2} - B{F^2}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} \]

\({S_{\Delta ABE}} = \frac{1}{2}AH.BE = \frac{1}{2}EF.AB \Rightarrow AH.BE = EF.AB \Leftrightarrow AH.\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} .a \Leftrightarrow AH = \frac{{\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} .a}}{{\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} }}\) Thể tích khối tứ diện ABCD: \(V = \frac{1}{3}AH.{S_{\Delta BCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} .a}}{{\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} }}.\frac{1}{2}.\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} .a = \frac{{{a^2}\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} }}{6}\)