Cách 1.

$Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng \(3a\). Gọi \(M\)thuộc cạnh \(B'C'\) sao cho \(MC' = 2MB'\) , \(N\) thuộc cạnh \(AC\) sao cho \(AC = 4NC\) Mặt phẳng \(\ (ảnh 1)$

Mặt phẳng

\(\left( {A'MN} \right)\) cắt các mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\) theo các giao tuyến song song nên \(Q\) là giao điểm của đường thẳng qua \(N\) song song với \(A'M\) với cạnh \(BC.\)

Kéo dài các đường \(A'N,MQ\) và \(C'C\) đồng quy tại cùng một điểm \(P\) (3 mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến đồng quy).

Như vậy khối đa diện cần tính thể tích là một khối chóp cụt.

Ta có \(C'M = \frac{2}{3}B'C' = 2a.{S_1} = {S_{\Delta A'C'M}} = \frac{1}{2}A'C'.C'M.\sin {60^0} = \frac{1}{2}.3a.2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}.\)

Gọi \(E\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(EC = 2EB\) thì \(A'M//AE\) nên

Diện tích tam giác \(CNQ\) là \({S_2} = {S_{\Delta CNQ}} = \frac{1}{2}CQ.CN.\sin {60^0} = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{{3a}}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{{32}}.\)

Vậy ..

Cách 2:

$Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng \(3a\). Gọi \(M\)thuộc cạnh \(B'C'\) sao cho \(MC' = 2MB'\) , \(N\) thuộc cạnh \(AC\) sao cho \(AC = 4NC\) Mặt phẳng \(\ (ảnh 2)$

Mặt phẳng \(\left( {A'MN} \right)\) cắt các mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\) theo các giao tuyến song song nên \(Q\) là giao điểm của đường thẳng qua \(N\) song song với \(A'M\) với cạnh \(BC.\)

Ta có \(C'M = \frac{2}{3}B'C' = 2A,{S_{\Delta A'C'M}} = \frac{1}{2}A'C'.C'M.\sin {60^0} = \frac{1}{2}.3a.2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}.\)

Lại có \(\frac{{PC}}{{PC'}} = \frac{{CN}}{{A'C'}} = \frac{{CN}}{{AC}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{PC}}{{CC'}} = \frac{1}{3} \Rightarrow PC = \frac{1}{3}.3a = a \Rightarrow PC' = 4a.\)

Thể tích khối chóp \(P.C'A'M\) là \({V_{P.C'A'M}} = \frac{1}{3}.4a.\frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2} = 2\sqrt 3 {a^3}.\)

Gọi \(E\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(EC = 2EB\) thì \(A'M//AE\) nên

\(\frac{{CQ}}{{CE}} = \frac{{CN}}{{CA}} = \frac{1}{4} \Rightarrow CQ = \frac{1}{4}CE = \frac{1}{4}C'M = \frac{1}{2}a.\)

Ta có \({S_{\Delta CNQ}} = \frac{1}{2}D\left( {N,CQ} \right).CQ = \frac{1}{2}.\frac{1}{4}.d\left( {A,BC} \right).CQ = \frac{1}{8}.\frac{{3a\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{2}a = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{32}}.\)

Thể tích khối chóp \(P.CNQ\) là \({V_{P.CNQ}} = \frac{1}{3}PC.{S_{\Delta CNQ}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{32}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{32}}.\)

Vậy \({V_{CNQ.C'A'M}} = {V_{P.C'A'M}} - {V_{P.CNQ}} = 2\sqrt 3 {a^3} - \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{32}} = \frac{{63\sqrt 3 {a^3}}}{{32}}.\)

Cách 3:

$Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng \(3a\). Gọi \(M\)thuộc cạnh \(B'C'\) sao cho \(MC' = 2MB'\) , \(N\) thuộc cạnh \(AC\) sao cho \(AC = 4NC\) Mặt phẳng \(\ (ảnh 3)$

Mặt phẳng \(\left( {A'MN} \right)\) cắt các mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\) theo các giao tuyến song song nên \(Q\) là giao điểm của đường thẳng qua \(N\) song song với \(A'M\) với cạnh \(BC.\)

Ta có \({V_{CNQ.C'A'M}} = {V_{N.MC'A'}} + {V_{N.CQMC'}}.\)

Ta có \(C'M = \frac{2}{3}B'C' = 2A,{S_{\Delta A'C'M}} = \frac{1}{2}A'C'.C'M.\sin {60^0} = \frac{1}{2}.3a.2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}.\)

\({V_{CNQ.C'A'M}} = \frac{1}{3}.CC'.{S_{A'C'M}} = \frac{1}{3}.3a.\frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2} = \frac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{2}.\)

Gọi \(E\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(EC = 2EB\) thì \(A'M//AE\) nên \(NQ//AE,\) ta có:

\(\frac{{CQ}}{{CE}} = \frac{{CN}}{{CA}} = \frac{1}{4} \Rightarrow CQ = \frac{1}{4}CE = \frac{1}{4}C'M = \frac{1}{2}a.\)

Diện tích hình thang \(CQMC'\) là \({S_{\Delta CQNC'}} = \frac{1}{2}CC'\left( {CQ + C'M} \right) = \frac{1}{2}.3a.\left( {\frac{1}{2}a + 2a} \right) = \frac{{15{a^2}}}{4}.\)

Thể tích khối chóp \(N.CQMC'\) là

\({V_{N.CQMC'}} = \frac{1}{3}.d\left( {N,\left( {CQMC'} \right)} \right).{S_{CQNC'}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{4}d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right).{S_{CQNC'}} = \frac{1}{{12}}.\frac{{3a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{15{a^2}}}{4} = \frac{{15\sqrt 3 {a^3}}}{{32}}.\)

Thể tích khối đa diện cần tìm là

\({V_{CNQ.C'A'M}} = {V_{N.MC'A'}} + {V_{N.CQMC'}} = \frac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{2} + \frac{{15\sqrt 3 {a^3}}}{{32}} = \frac{{63\sqrt 3 {a^3}}}{{32}}.\)

Đáp án B

Khối chóp có một nửa diện tích đáy là S, chiều cao là 2h thì có thể tích là: