Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( S B C ) bằng

10/22

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a\), \(AC = a\sqrt 3 \), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 2a\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng

\[\frac{{2a\sqrt {57} }}{{17}}\].

\[\frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\].

\[\frac{{2a\sqrt {57} }}{{21}}\].

\[\frac{{2a\sqrt {57} }}{{23}}\].

Giải thích

B (ảnh 1)

Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) hạ \(AH \bot BC\) tại \(H\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAH} \right)\) hạ \(AK \bot SH\) tại \(K\).

Từ đó suy ra \(AK \bot \left( {SBC} \right)\).

Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(AK.\)

Ta có \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} + \frac{1}{{A{S^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{S^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{{19}}{{12{a^2}}}\).

Suy ra \(AK = \frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\). Do đó, \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\). Chọn B.