Khi m = 2 giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 5 .

a) Sai

Khi \(m = 2\)

Ta  có  \(y = f(x) = \left| {{x^4} - 2{x^2} + 1} \right| = {x^4} - 2{x^2} + 1 = {({x^2} - 1)^2} \ge 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(0\) khi và chỉ khi \(x =  \pm 1\).

b) Sai

Khi \(m = 3\)

Ta  có  \(y = f(x) = \left| {{x^4} - 2{x^2} + 3} \right| = {x^4} - 2{x^2} + 3\)

\(y' = 4{x^3} - 4x\);  \(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ {0;3} \right]\\x = 1 \in \left[ {0;3} \right]\\x =  - 1 \notin \left[ {0;3} \right]\end{array} \right.\)

\(f(0) = 3\), \(f(1) = 2\);  \(f(3) = 66\) .  Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = 66\) .

c) Đúng

Xét  hàm số \(y = h(x) = {x^4} - 2{x^2} + 2m - 3\) có \(h'(x) = 4{x^3} - 4x\)

\(h'(x) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

 

Ta có  \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f(x) = \mathop {\max \left| {h(x)} \right|}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]}  = \max \left\{ {\left| {2m - 4} \right|;\left| {2m - 3} \right|} \right\}\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {2m - 4} \right| = 27\\\left| {2m - 4} \right| \ge \left| {2m - 3} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = \frac{{31}}{2}\\m =  - \frac{{23}}{2}\end{array} \right.\\m \le \frac{7}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - \frac{{23}}{2}\)

TH2:  \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {2m - 3} \right| = 27\\\left| {2m - 3} \right| \ge \left| {2m - 4} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 15\\m =  - 12\end{array} \right.\\m \ge \frac{7}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 15\)

Vậy có hai giá trị của m thóa mãn nên c đúng

d) Đúng

Ta có \(h( - 1) = 2m - 4\); \[h(0) = 2m - 3\]

+)  Nếu \(h( - 1).h(0) \le 0 \Leftrightarrow \frac{3}{2} \le m \le 2\)thì

\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f(x) = \mathop {\max }\limits_{\left| {\left[ { - 1;0} \right]} \right|} \left| {h(x)} \right| = \max \left\{ {\left| {2m - 4} \right|;\left| {2m - 3} \right|} \right\}\);\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f(x) = \mathop {\min }\limits_{\left| {\left[ { - 1;0} \right]} \right|} \left| {h(x)} \right| = 0\)

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f(x) + \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f(x) = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {2m - 4} \right| = 3\\\left| {2m - 3} \right| = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{7}{2},m = \frac{1}{2}\\m = 3,m = 0\end{array} \right.\)

Đối chiếu điều kiện không có giá trị nào của m thỏa mãn

+)  Nếu \(h( - 1).h(0) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < \frac{3}{2}\\m > 2\end{array} \right.\)      

\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f(x) + \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f(x) = 3 \Leftrightarrow \left| {2m - 4} \right| + \left| {2m - 3} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > 2\\2m - 4 + 2m - 3 = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < \frac{3}{2}\\4 - 2m + 3 - 2m = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{5}{2}\\m = 1\end{array} \right.\)

Vây tổng các giá trị của \(m\) bằng \(\frac{7}{2}\).