Khi m = 0 , ta có min ( 0 ; + ∞ ) y = − 2 .

14/22

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}$.

a) Khi $m = 0$, ta có $\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = - 2$.

b) Hàm số đã cho luôn có 2 cực trị.

c) Với mọi giá trị của $m$, ta luôn có $\mathop {\min }\limits_{\left( { - m; + \infty } \right)} y - \mathop {{\mathop{\rm m}\nolimits} ax}\limits_{\left( { - \infty ; - m} \right)} y = 4$.

d) Khi $m = - 3$ thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ bằng $1$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a. S

b. Đ

c. Đ

d. Đ

a) Khi $m = 0$ thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ bằng $2$.

Thay $m = 0$vào $y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}$, ta có $y = \frac{{{x^2} + 1}}{x} \Rightarrow y' = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1 \notin \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right.$.

$Cho hàm số $y = f(x) = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}$. a) Khi $m = 0$, ta có $\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = - 2$. (ảnh 1)$

b) Ta có $y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}} \Rightarrow y' = \frac{{{x^2} + 2mx + {m^2} - 1}}{{{{(x + m)}^2}}}$.

$ + y' = 0$$ \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - m - 1;\,(\,x \ne - m)\\x = - m + 1;\,(\,x \ne - m)\end{array} \right.$.

$ \Rightarrow y' = 0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $x \ne - m,\,\,\forall m$. Vậy hàm số luôn có 2 cực trị.

c) $ + y' = 0$$ \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - m - 1\\x = - m + 1\end{array} \right.$.

Ta có bảng biến thiên:

$Cho hàm số $y = f(x) = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}$. a) Khi $m = 0$, ta có $\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = - 2$. (ảnh 2)$

Từ bảng biến thiên ta có: $\mathop {max}\limits_{\left( { - \infty ; - m} \right)} y = - 2 - m\,\,;\,\,\,\,\,\mathop {\min }\limits_{\left( { - m; + \infty } \right)} y = 2 - m \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( { - m; + \infty } \right)} y - \mathop {{\mathop{\rm m}\nolimits} ax}\limits_{\left( { - \infty ; - m} \right)} y = 4$.

d) Khi $m = - 3$thay vào $y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}$, ta có $y = \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{x - 3}}$.

+ Hàm số $y = \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{x - 3}}$ là hàm phân thức hữu tỉ, liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ;3} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$.

Mặt khác $\left[ { - 1;2} \right] \subset \left( { - \infty ;3} \right) \Rightarrow $hàm số liên tục trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$.

+ Ta có $y' = \frac{{{x^2} - 6x + 8}}{{{{(x - 3)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;2} \right)$ và $y(2) = 1$.

Vì hàm số tăng trên $\left( { - 1;2} \right)$ nên hàm số đạt giá trị lớn nhất $\mathop {max}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y(2) = 1$.