Khi khắc phục hậu quả của thiên tai, bão lũ, một trong những giải pháp nhằm tiếp tế hàng cứu trợ đến những nơi khó tiếp cận là sử dụng flycam để xác định vị trí chính xác của người cần cứu tr
18/21
Khi khắc phục hậu quả của thiên tai, bão lũ, một trong những giải pháp nhằm tiếp tế hàng cứu trợ đến những nơi khó tiếp cận là sử dụng flycam để xác định vị trí chính xác của người cần cứu trợ, sau đó sử dụng drone để vận chuyển các vật dụng thiết yếu thả xuống cho người này, giúp họ có thể cầm cự trong khi chờ đợi lực lượng cứu hộ đến nơi. Hai chiếc drone làm nhiệm vụ chuyển hàng cứu trợ bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất bay đến điểm cách điểm xuất phát 2,5 km về phía nam và 1,5 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 60 m. Chiếc thứ hai bay đến điểm cách điểm xuất phát 3 km về phía bắc và 2,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 40 m. Trong không gian, xét hệ tọa độ Oxyz với gốc toạ độ O đặt tại điểm xuất phát của hai drone, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng). Giả sử trong trường hợp khẩn cấp, cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu và các vật dụng cứu trợ cho hai drone sao cho tổng khoảng cách từ vị trí tiếp nhiên liệu đó tới hai drone nhỏ nhất. Vị trí cần tìm cách gốc tọa độ \(a\) km theo hướng bắc và \(b\) km theo hướng tây. Khi đó \(a + b\) bằng bao nhiêu?
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) tại vị trí xuất phát của hai drone:
- Trục \(Ox\) hướng về phía Đông (phía Tây tương ứng với hoành độ âm).
- Trục \(Oy\) hướng về phía Bắc (phía Nam tương ứng với tung độ âm).
- Trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trên (mặt đất trùng với mặt phẳng \(Oxy\), tức là \(z = 0\)).
Đổi đơn vị độ cao từ mét sang kilômét: \(60{\rm{\;m}} = 0,06{\rm{\;km}}\); \(40{\rm{\;m}} = 0,04{\rm{\;km}}\).
Từ dữ kiện đề bài, ta xác định tọa độ của hai drone lần lượt là:
- Drone thứ nhất tại điểm \(A\left( {1,5; - 2,5;0,06} \right)\).
- Drone thứ hai tại điểm \(B\left( { - 2,5;3;0,04} \right)\).
Điểm tiếp nhiên liệu \(M\) nằm trên mặt đất nên có cao độ \({z_M} = 0\). Theo đề bài, \(M\) cách gốc tọa độ \(a{\rm{\;km}}\) về hướng Bắc và \(b{\rm{\;km}}\) về hướng Tây, do đó tọa độ của \(M\) là: \(M\left( { - b;a;0} \right)\quad \left( {a,b > 0} \right)\).
Bài toán yêu cầu tìm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho tổng khoảng cách \(MA + MB\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Vì \(A\) và \(B\) đều có cao độ dương (\({z_A} = 0,06 > 0\) và \({z_B} = 0,04 > 0\)) nên hai điểm này nằm cùng một phía đối với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Tọa độ của \(A'\) là: \(A'\left( {1,5; - 2,5; - 0,06} \right)\).
Khi đó, với mọi điểm \(M\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), ta luôn có \(MA = MA'\).
Do đó \(MA + MB = MA' + MB \ge A'B\).
Dấu "\( = \)" xảy ra khi và chỉ khi ba điểm \(A',M,B\) thẳng hàng theo thứ tự đó (tức là \(M\) là giao điểm của đoạn thẳng \(A'B\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)).
Vì \(M\) nằm trên đoạn thẳng \(A'B\) và thuộc mặt phẳng \(Oxy\) (\({z_M} = 0\)), tỉ số độ dài đoạn thẳng dựa trên hình chiếu lên trục \(Oz\) là: \(\frac{{MA'}}{{MB}} = \frac{{\left| {{z_{A'}}} \right|}}{{\left| {{z_B}} \right|}} = \frac{{0,06}}{{0,04}} = \frac{3}{2}\).
Do \(M\) nằm giữa \(A'\) và \(B\), hai vectơ \(\overrightarrow {MA'} \) và \(\overrightarrow {MB} \) ngược chiều nhau.
Từ tỉ số độ dài, ta có đẳng thức vectơ: \(\overrightarrow {MA'} = - \frac{3}{2}\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MA'} + 3\overrightarrow {MB} = \vec 0\).
Áp dụng công thức tọa độ điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước:
- Hoành độ \({x_M}\): \({x_M} = \frac{{2{x_{A'}} + 3{x_B}}}{{2 + 3}} = \frac{{2 \cdot 1,5 + 3 \cdot \left( { - 2,5} \right)}}{5} = \frac{{3 - 7,5}}{5} = - 0,9\).
- Tung độ \({y_M}\): \({y_M} = \frac{{2{y_{A'}} + 3{y_B}}}{{2 + 3}} = \frac{{2 \cdot \left( { - 2,5} \right) + 3 \cdot 3}}{{2 + 3}} = \frac{{ - 5 + 9}}{5} = 0,8\).
Vậy tọa độ của điểm \(M\) là \(M\left( { - 0,9;0,8;0} \right)\).
Đối chiếu với tọa độ dạng tổng quát \(M\left( { - b;a;0} \right)\), ta suy ra: \( - b = - 0,9 \Rightarrow b = 0,9\); \(a = 0,8\).
Vậy giá trị của \(a + b\) là: \(a + b = 0,8 + 0,9 = 1,7\).
Đáp án: 1,7.