Khi đó thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng là

12/22

Trong tiết học Toán, giáo viên phát cho \(4\) tổ một tấm bìa hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(10\,cm\). Giáo viên yêu cầu \(4\) tổ sử dụng tấm bìa này và cắt tấm bìa theo các tam giác cân \(AEB,\,BFC,\,CGD\,,\,DHA\) để sau đó gấp các tam giác \(AEH,\,BEF,\,CFG\,,\,DGH\) sao cho bốn đỉnh \(A\,,\,B\,,\,C\,,\,D\) trùng nhau tạo thành khối chóp tứ giác đều . Khi đó thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng là

\(\frac{{32\sqrt {10} }}{3}\,\left( {c{m^3}} \right)\).

\(\frac{{16\sqrt {10} }}{3}\,\left( {c{m^3}} \right)\).

\(\frac{{32\sqrt 2 }}{3}\,\left( {c{m^3}} \right)\).

\(\frac{{28\sqrt {10} }}{3}\,\left( {c{m^3}} \right)\).

Giải thích

Khi đó thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng là (ảnh 1)

Đặt cạnh hình vuông \(EFGH\)là \(x\,\left( {x > 0} \right)\). \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD,\,EFGH\).

Khi đó \(OM = \frac{x}{2}\), \(CM = CO - OM = \frac{{10\sqrt 2 - x}}{2}\,\,(0 < x < 10\sqrt 2 )\).

Khi gò các tam giác thành hình chóp tứ giác đều \(A.EFGH\) thì \(A \equiv C\) nên \(AM = CM\). Suy ra \(AO = \sqrt {A{M^2} - O{M^2}} = \sqrt {50 - 5\sqrt 2 x} \).

Thể tích khối chóp \(A.EFGH\)là \({V_{A.EFGH}} = \frac{1}{3}{S_{EFGH}}.AO = \frac{1}{3}{x^2}\sqrt {50 - 5\sqrt 2 x} = \frac{1}{3}\sqrt {50{x^4} - 5\sqrt 2 {x^5}} \).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 50{x^4} - 5\sqrt 2 {x^5}\) với \(0 < x < 5\sqrt 2 \) ta tìm được max\(f\left( x \right) = \frac{{32\sqrt {10} }}{3}\) khi \(x = 4\sqrt 2 \).