Khi đó, góc tạo bởi sợi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
4/10
Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như hình vẽ. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ tọa độ phù hợp, các điểm gốc O (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là O(0; 0; 0), A(5; −3; 1), B(−3; −4; 2), đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm C(0; 0; 5) và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. Khi đó, góc tạo bởi sợi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
40°;
36°;
73°;
63°.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( {5; - 3;1} \right),\overrightarrow {OB} = \left( { - 3; - 4;2} \right)\).
Mặt phẳng (OAB) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( { - 2; - 13; - 29} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.
Mặt khác \(\overrightarrow {CA} = \left( {5; - 3; - 4} \right)\) nên ta có:
\(\sin \left( {CA,\left( {OAB} \right)} \right) = \frac{{\left| {5.\left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right).\left( { - 13} \right) + \left( { - 4} \right).\left( { - 29} \right)} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 13} \right)}^2} + {{\left( { - 29} \right)}^2}} }} = \frac{{29}}{{13\sqrt {12} }}\).
Suy ra (CA, (OAB)) ≈ 40°.