Khi đó góc giữa hai mái nhà bằng bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của độ)?
7/10
Một nhà kho được minh họa như hình bên, trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), biết kho có chiều cao bằng 8 m, hai mái nhà EFIK, HGIK là hình chữ nhật bằng nhau, các bức tường tạo thành hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH, AB = 10 m, AD = 24 m, AE = 7 m. Khi đó góc giữa hai mái nhà bằng bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của độ)?
9,5°;
5,9°;
10°;
10,5°.
Đáp án đúng là: A
Vì ABCD.EFGH là hình hộp chữ nhật ta có:
AB = CD = EF = GH = 10, AE = BF = CG = DH = 7, AD = BC = EH = FG = 24.
Vì EFIK, HGIK là hình chữ nhật bằng nhau nên ta có tam giác IGF cân tại I và có chiều cao kẻ từ I bằng 1. Suy ra
E(0; 0; 7), F(10; 0; 7), G(10; 24; 7), H(0; 24; 7), I(10; 12; 8).
Khi đó \(\overrightarrow {EF} = \left( {10;0;0} \right),\overrightarrow {FI} = \left( {0;12;1} \right),\overrightarrow {HG} = \left( {10;0;0} \right),\overrightarrow {GI} = \left( {0; - 12;1} \right)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {FI} } \right] = \left( {0; - 10;120} \right) = - 10\left( {0;1; - 12} \right)\),
\(\left[ {\overrightarrow {HG} ,\overrightarrow {GI} } \right] = \left( {0; - 10; - 120} \right) = - 10\left( {0;1;12} \right)\).
Do đó mặt phẳng (EFIK) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;1; - 12} \right)\).
Mặt phẳng (HGIK) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;1;12} \right)\).
Gọi φ là góc giữa hai mái nhà.
Ta có \(\cos \varphi = \frac{{\left| {0.0 + 1.1 + \left( { - 12} \right).12} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {{12}^2}} }} = \frac{{143}}{{145}}\) φ ≈ 9,5°.