Khi đó giá trị của a ^2 − b^ 2 + c ^2 bằng bao nhiêu?
20/22
Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên không, lệch sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam \(2\,{\rm{m}}\), cách bạn nữ \(4\,{\rm{m}}\). Cho biết quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt đất. Biết rằng phương trình của \(\left( P \right)\) trong không gian \[Oxyz\] được mô tả như trong hình vẽ và có dạng \(\left( P \right):ax + by + cz = 0\). Khi đó giá trị của \({a^2} - {b^2} + {c^2}\) bằng bao nhiêu?
Khoảng cách giữa hai bạn học sinh là \(\sqrt {{4^2} - {2^2}} = 2\sqrt 3 \).
Gọi \(M\) là điểm mà quả bóng rơi trên mặt đất. Khi đó \(M\left( {2;2\sqrt 3 ;0} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\) và \(\overrightarrow {OM} = \left( {2;2\sqrt 3 ;0} \right)\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( { - 2\sqrt 3 ;2;0} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( P \right): - 2\sqrt 3 x + 2y = 0\).
Vậy \({a^2} - {b^2} + {c^2} = {\left( { - 2\sqrt 3 } \right)^2} - {2^2} + {0^2} = 8\).
Đáp án:\(8\).