Khi đó độ dài AC bằng bao nhiêu?

20/22

Một nhóm bạn đi Picnic muốn cắm trại qua đêm. Biết trại cắm là một hình chóp tam giác đỉnh \(S\) cách đều các chân trại \(A,B,C\) một đoạn bằng \(3m\). Biết đáy trại là một tam giác vuông tại \(A\) và \(AB = 2m\). Nhóm muốn cắm trại sao cho thể tích của trại là lớn nhất cho không gian thoải mái. Khi đó độ dài \(AC\) bằng bao nhiêu?

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\) suy ra \(H\) là tâm ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Do \(SA = SB = SC\) nên ta có \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Khi đó độ dài AC bằng bao nhiêu? (ảnh 1)

Đặt \(AC = x\). Ta có

\(BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2}} = \sqrt {{x^2} + 4} \).

Trong tam giác \(SBH\) ta có \(SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}} = \frac{{\sqrt {32 - {x^2}} }}{2}\),\(0 < x < 4\sqrt 2 \)

Thể tích của lều

\(V = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt {32 - {x^2}} }}{2}.\frac{1}{2}.2.x = \frac{1}{6}x.\sqrt {32 - {x^2}} \).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x.\sqrt {32 - {x^2}} \)ta có \(f'\left( x \right) = \sqrt {32 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {32 - {x^2}} }}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 32 - {x^2} = {x^2} \Rightarrow x = 4\). Ta có bảng biến thiên

Khi đó độ dài AC bằng bao nhiêu? (ảnh 2)

Từ bảng biến thiên suy ra độ dài cạnh \(AC\) là \(4m\)