Khi đó bán kính của tấm bìa nhỏ nhất là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
21/22
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] mắt một người quan sát đặt tại điểm \[M\left( {1;2;3} \right)\] và vật cần quan sát đặt tại điểm \[N\left( {2;3; - 12} \right)\]. Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn thuộc mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] tâm đặt tại gốc tọa độ, bán kính \[R\] che khuất tầm nhìn của người quan sát. Khi đó bán kính của tấm bìa nhỏ nhất là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Giả sử người quan sát không nhìn thấy vật khi và chỉ khi người quan sát không nhìn thấy điểm \(N,\) hay tấm bìa cứng che khuất điểm \(N.\) Khi đó, đoạn thẳng \(MN\) cắt tấm bìa cứng tại điểm \(I\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(MN:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3 - 15t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
Ta có \(I = MN \cap \left( {Oxy} \right):z = 0 \Rightarrow 3 - 15t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{5} \Rightarrow I\left( {\frac{6}{5};\frac{{11}}{5};0} \right)\).
Vì \({z_M} \cdot {z_N} = - 36 < 0\) nên \(M,N\) nằm về hai phía của \(I\) hay tấm bìa có thể che khuất vật.
Mặt khác, tấm bìa hình tròn có tâm là gốc tọa độ nên tấm bìa muốn che khuất vật khi và chỉ khi
\(R \ge OI = \sqrt {{{\left( {\frac{6}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{11}}{5}} \right)}^2} + {0^2}} = \frac{{\sqrt {157} }}{5} \approx 2,51.\)
Đáp án: \(2,51\).