Khi đó a^ 3 + b ^3 bằng bao nhiêu?

19/22

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\,4} \right)\), \(B\left( { - 1\,;\,\, - 2\,;\,\,2} \right)\) và điểm \(M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,1} \right)\) sao cho tam giác \(MAB\) vuông tại \(M\) và diện tích tam giác \(MAB\) nhỏ nhất. Khi đó \({a^3} + {b^3}\) bằng bao nhiêu?

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {a + 1\,;\,\,b - 2\,;\,\, - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {BM} = \left( {a + 1\,;\,\,b + 2\,;\,\, - 1} \right)\).

Tam giác \(MAB\) vuông tại \(M\) nên \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} = 0 \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {b^2} = 1\)\( \Rightarrow {b^2} \le 1 \Rightarrow - 1 \le b \le 1\).

Ta có \[\left[ {\overrightarrow {AM} ,\,\overrightarrow {BM} } \right] = \left( {2b + 8\,;\,\, - 2\left( {a + 1} \right)\,;\,\,4\left( {a + 1} \right)} \right)\].

\[ \Rightarrow {S_{\Delta MAB}} = \frac{1}{2}\sqrt {4{{\left( {b + 4} \right)}^2} + 20{{\left( {a + 1} \right)}^2}} = \sqrt {{b^2} + 8b + 16 + 5\left( {1 - {b^2}} \right)} = \sqrt { - 4{b^2} + 8b + 21} \].

Đặt \(f\left( b \right) = - 4{b^2} + 8b + 21 \Rightarrow f'\left( b \right) = - 8b + 8 \ge 0,\,\,\forall b \in \left[ { - 1;\,1} \right]\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;\,1} \right]} f\left( b \right) = f\left( { - 1} \right) = 9\).

\( \Rightarrow \)\[{S_{\Delta MAB}}\] có giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi \(b = - 1\)\( \Rightarrow \,a = - 1 \Rightarrow \)\({a^3} + {b^3} = - 2\).

Đáp án: \( - 2\).