Khi cho hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy bể Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và mở vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì sẽ đầy được 2/15 bể

Đổi: 1 giờ 20 phút \( = \frac{4}{3}\) giờ; 10 phút \( = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{6}}}\)giờ; 12 phút \( = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{5}}}\)(giờ).

Gọi \[x\] (giờ); \[y\] (giờ) lần lượt là thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình thì đầy bể \(\left( {x > \frac{4}{3};\,\,y > \frac{4}{3}} \right).\)

⦁ Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được: \(\frac{1}{x}\) (bể).

Trong một giờ vòi thứ hai chảy được: \(\frac{1}{y}\) (bể).

Do đó, trong một giờ cả hai vòi sẽ chảy được: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) (bể).

Theo bài, cả hai vòi cùng chảy thì sau \(\frac{4}{3}\) (giờ) sẽ đầy bể nên trong một giờ cả hai vòi sẽ chạy được: \(\frac{1}{{\frac{4}{3}}} = \frac{3}{4}\) (bể).

Do đó, ta có phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\)    (1)

⦁Khi mở vòi thứ nhất trong 10 phút thì vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x}\) (bể).

Khi mở vòi thứ hai trong 12 phút thì vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y}\) (bể).

Theo bài, Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và mở vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì sẽ đầy được \[\frac{2}{{15}}\] bể nên ta có phương trình \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y} = \frac{2}{{15}}\) (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}}\\{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y} = \frac{2}{{15}}}\end{array}} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 5, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}}\\{\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3}}\end{array}} \right.\)

Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ trên, ta được:

\[\left( {1 - \frac{5}{6}} \right) \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{4} - \frac{2}{3}\] hay \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{{12}}\), suy ra \(\frac{1}{x} = \frac{1}{2},\) nên \(x = 2\) (thỏa mãn).

Thay \(x = 2\) vào phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\), ta được \(\frac{1}{2} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4},\) suy ra \(\frac{1}{y} = \frac{1}{4},\) nên \(y = 4\)(thỏa mãn).

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình thì sau 2 giờ sẽ đầy bể; vòi thứ hai chảy một mình thì sau 4 giờ sẽ đầy bể.