Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau y = x^3 - 3x^2 + 1

a) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Sự biến thiên:

\(y' = 3{x^2} - 6x;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến, trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\), \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến.

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và .

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và \({y_{CT}} = - 3\).

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \).

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị đi qua các điểm \(\left( {2; - 3} \right),\left( { - 1; - 3} \right),\left( {3;1} \right)\).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là \(I\left( {1; - 1} \right)\).

b) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Sự biến thiên:

Có \(y' = 3{x^2} + 6x + 3 = 3{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\). Suy ra hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1\).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \).

Bảng biến thiên

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục hoành tại điểm \(\left( { - 2;0} \right)\) và giao với trục tung tại điểm \(\left( {0;2} \right)\).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là \(I\left( { - 1;1} \right)\).