Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = x + 3 + \frac{1}{{x - 1}}\).

Tập xác định của hàm số là: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Sự biến thiên:

Có \(y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).

Trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến, trên các khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;2} \right)\), \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến.

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và \({y_{CT}} = 6\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và .

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = + \infty \).

Tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = + \infty \).

Suy ra \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0\).

Suy ra \(y = x + 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

Đồ thị

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \(\left( {0;2} \right)\).

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là \(\left( { - 1 + \sqrt 3 ;0} \right)\) và \(\left( { - 1 - \sqrt 3 ;0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( {1;4} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

b) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Sự biến thiên

Có \(y' = - 1 + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow x = - 2\) hoặc \(x = 0\).

Trên các khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;0} \right)\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến, trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến.

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 2\) và \({y_{CT}} = 5\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và .

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}} \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}} \right) = + \infty \);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( { - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}} \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( { - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}} \right) = - \infty \).

Suy ra đường thẳng \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( { - x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{1}{{x + 1}}} \right) = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( { - x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \frac{1}{{x + 1}}} \right) = 0\).

Suy ra \(y = - x + 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

Đồ thị

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left( { - 3; - \frac{{11}}{2}} \right),\left( {3; - \frac{5}{4}} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( { - 1;3} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.