Kẻ AH vuông góc với BC tại H, tia AH cắt đường tròn (O) tại E (Hình 36). Tính: a) Số đo cung nhỏ CE và số đo cung lớn BC;
10/10
Cho đường tròn (O; 1 dm) và ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn sao cho ABC^=45°, ACB^=15°. Kẻ AH vuông góc với BC tại H, tia AH cắt đường tròn (O) tại E (Hình 36). Tính:
a) Số đo cung nhỏ CE và số đo cung lớn BC;
b) Độ dài các đoạn thẳng AC, BC.
a) Trong tam giác AHC có: CAH^+ACH^=90° (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông)
Suy ra CAH^=180°−ACH^=180°−15°=75°.
Mà CAE^ hay chính là CAH^ là góc nội tiếp chắn cung nhỏ CE của đường tròn (O)
Do đó số đo cung nhỏ CE bằng 2CAH^=2⋅75°=150°.
Trong tam giác ABC có: BAC^+ABC^+ACB^=180°
Suy ra BAC^=180°−ABC^−ACB^=180°−45°−15°=120°.
Mà BAC^ là góc nội tiếp chắn cung lớn BC của đường tròn (O)
Do đó số đo cung lớn BC bằng 2BAC^=2⋅120°=240°.
b) Trong đường tròn (O), AOC^ và ABC^ lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AC nên AOC^=2ABC^=2⋅45°=90°.
Suy ra ∆OAC vuông tại O, theo định lí Pythagore, ta có:
AC2 = OA2 + OC2
Do đó AC=OA2+OC2=12+12=2 dm.
Kẻ OM vuông góc với BC tại M.
Xét ∆OBM (vuông tại M) và ∆OCM (vuông tại M) có:
OB = OC, cạnh OM chung
Do đó ∆OBM = ∆OCM (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra BM = CM hay M là trung điểm của BC, suy ra BC = 2CM.
Vì ∆OAC vuông tại O có OA = OC nên ∆OAC vuông cân tại O, suy ra OCA^=45°.
Ta có: OCM^=OCA^−ACB^=45°−15°=30°.
Xét ∆OCM vuông tại M có: CM=OC⋅cosOCM^=1⋅cos30°=32 dm.
Vậy BC=2CM=2⋅32=3 dm.