Hỏi xây cây cầu cách thành phố A là bao nhiêu kilomet để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường A E F B )? (kết quả làm tròn đến phần chục)

Đặt \[HE = {x_{}}{,_{}}FK = y\], với \[x,\,y > 0\].

Ta có: \[HE + KF = 20 \Rightarrow x + y = 20\], \[\left\{ \begin{array}{l}AE = \sqrt {16 + {x^2}} \\BF = \sqrt {36 + {y^2}}  = \sqrt {36 + {{\left( {20 - x} \right)}^2}} \end{array} \right.\]

Nhận xét: Vì \[EF\] không đổi nên \[AB\] ngắn nhất khi \[AE + BF\] nhỏ nhất.

Ta có \[AE + BF\]\[ = \sqrt {{x^2} + 16}  + \sqrt {{{\left( {20 - x} \right)}^2} + 36}  = \sqrt {{x^2} + 16}  + \sqrt {{x^2} - 40x + 436}  = f\left( x \right)\]

Đạo hàm \[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} + \frac{{x - 20}}{{\sqrt {{x^2} - 40x + 436} }} = 0 \Rightarrow x = 8,\,\forall x \in \left( {0;20} \right)\]\[\]

Bảng biến thiên

Vậy \(AE = \sqrt {{8^2} + 16}  \approx 8,94\)km.

Đáp án: 8,94.