Hỏi X nên chèo thuyền về bờ tại vị trí D cách đích C là bao nhiêu để tổng thời gian về đích là sớm nhất.
21/22
Trong cuộc thi 2 môn phối hợp gồm chèo thuyền và chạy bộ. Các vận động viên sẽ chèo thuyền từ điểm xuất phát \(A\)cách bờ \(BC\)\(6km\) sau đó đến bờ tại một vị trí \(D\) bất kì rồi chạy về đích \(C\),(xem hình minh họa). Biết rằng quãng đường trên bờ \(BC = 15km\), vận tốc chèo thuyền của một vận động viên \(X\)là \(8km/h\) và vận tốc chạy trên bờ là \(16km/h\)
Hỏi \(X\) nên chèo thuyền về bờ tại vị trí \(D\) cách đích \(C\) là bao nhiêu để tổng thời gian về đích là sớm nhất.
Đáp số: \(15 - 2\sqrt 3 \).
Giả sử \(BD = x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}DC = 15 - x\\AD = \sqrt {{x^2} + 36} \end{array} \right.,\left( {0 \le x \le 15} \right)\).
Tổng thời gian để vận động viên về đích là \(t = \frac{{\sqrt {{x^2} + 36} }}{8} + \frac{{15 - x}}{{16}}\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 36} }}{8} + \frac{{15 - x}}{{16}}\),\(0 \le x \le 15\), ta có \(f'\left( x \right) = \frac{x}{{8\sqrt {{x^2} + 36} }} - \frac{1}{{16}}\).
Ta có bảng biến thiên
Vậy vận động viên nên vào bờ tại vị trí \(D\) cách đích \(C\) một khoảng là \(15 - 2\sqrt 3 \approx 11,54km\)