Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ lúc được phóng lên thì tên lửa va chạm với UAV (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của giây)?
33/34
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] xét mô hình phòng không như sau: rada đặt tại gốc tọa độ \[O\left( {0\,;0\,;0} \right)\], tên lửa phòng không đặt tại điểm \[M\left( {0\,;50\,;0} \right)\], mỗi đơn vị tương ứng với \[10\,\,{\rm{m}},\] mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] trùng với mặt đất, trục \[Oz\] vuông góc mặt đất và hướng lên. Giả sử mọi UAV (phương tiện bay không người lái) và tên lửa đều chuyển động thẳng đều. Tại thời điểm \[t = 0\,\,({\rm{s)}},\] rada phát hiện ra UAV \[A\] ở toạ độ \[{A_0}\left( {1100\,;0\,;15} \right)\]. Tại thời điểm \[t = 1\,\,{\rm{(s)}},\] rađa theo dõi thấy UAV \[A\] ở tọa độ \[{A_1}\left( {1095\,;1\,;14,5} \right)\] trên đường thẳng \[d\]. Tại thời điểm \[t = 6\,\,{\rm{(s)}},\] một tên lửa được phóng lên và chuyển động thẳng đều với vận tốc \[1300\,\,{\rm{(m/s)}},\] va chạm và phá huỷ UAV \[A\] tại điểm \[B\] trên \[d\]. Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ lúc được phóng lên thì tên lửa va chạm với UAV (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của giây)?
Đáp án: 7,93.
Vectơ vận tốc của UAV: \(\vec v = \overrightarrow {{A_0}{A_1}} = \left( { - 5\,;1\,; - 0,5} \right) \Rightarrow \left| {\vec v} \right| = \frac{{\sqrt {105} }}{2} \Rightarrow v = 5\sqrt {105} {\rm{ (m/s)}}\) (do mỗi đơn vị tương ứng với \[10\,\,{\rm{m}}\]).
Đường bay của UAV là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1100 - 5t\\y = t\\z = 15 - 0,5t\end{array} \right.\).
Vị trí của UAV tại thời điểm \(6{\rm{ (s)}}\): \(N\left( {1070\,;6\,;12} \right)\).
Yêu cầu bài toán là tìm điểm \(B \in d\) sao cho \(\frac{{10BN}}{{5\sqrt {105} }} = \frac{{10BM}}{{1300}} \Leftrightarrow 1690000B{N^2} = 2625B{M^2}\)
\[ \Rightarrow 1690000\left[ {{{\left( {30 - 5t} \right)}^2} + {{\left( {t - 6} \right)}^2} + {{\left( {3 - 0,5t} \right)}^2}} \right] = 2625\left[ {{{\left( {1100 - 5t} \right)}^2} + {{\left( {t - 50} \right)}^2} + {{\left( {15 - 0,5t} \right)}^2}} \right]\]
\[ \Leftrightarrow 44293593,75{t^2} - 503173125t - 1586353125 = 0 \Rightarrow t = 13,93083295\].
Vậy từ lúc tên lửa phóng lên cho đến lúc va chạm UAV \[A\] là: \(t \approx 13,93 - 6 = 7,93\,\,{\rm{(s)}}\).