Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của x để B nhận giá trị nguyên?

Hướng dẫn giải

Đáp án: \(6\).

Với \(x \ne 3\,;\,\,x \ne - 3\), ta có:

\(B = \left( {\frac{{2x - 1}}{{x + 3}} - \frac{x}{{3 - x}} - \frac{{3 - 10x}}{{{x^2} - 9}}} \right):\frac{{x + 2}}{{x - 3}}\)

\( = \left[ {\frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{3 - 10x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x - 3}}{{x + 2}}\)

\( = \frac{{2{x^2} - 7x + 3 + {x^2} + 3x - 3 + 10x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} \cdot \frac{{x - 3}}{{x + 2}}\)

\( = \frac{{3{x^2} + 6x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} \cdot \frac{{x - 3}}{{x + 2}}\)

\( = \frac{{3x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} \cdot \frac{{x - 3}}{{x + 2}} = \frac{{3x}}{{x + 3}}\).

Ta có: \(B = \frac{{3x}}{{x + 3}} = \frac{{3x + 9 - 9}}{{x + 3}} = \frac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{x + 3}} - \frac{9}{{x + 3}} = 3 - \frac{9}{{x + 3}}\).

Để \(B\) nguyên thì \(\frac{9}{{x + 3}}\) nhận giá trị nguyên.

Suy ra \(x + 3\) là ước của \(9\).

Mà Ư\(\left( 9 \right) = \left\{ { - 9\,;\,\, - 3\,;\,\, - 1\,;\,\,1\,;\,\,3\,;\,\,9} \right\}\).

Ta có bảng sau:

\(x + 3\)	\( - 9\)	\( - 3\)	\( - 1\)	\(1\)	\(3\)	\(9\)
\(x\)	\( - 12\) (TM)	\( - 6\) (TM)	\( - 4\) (TM)	\( - 2\) (TM)	\(0\) (TM)	\(6\) (TM)

Nhận thấy các giá trị \(x\) tìm được đều thỏa mãn.

Do đó, có 6 giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.