Hỏi chiều rộng của khu đất bằng bao nhiêu để tổng chiều dài lưới thép cần dùng là ngắn nhất  (nghĩa là chi phí rào lưới thép thấp nhất)?

Lời giải

Gọi chiều rộng khu đất hình chữ nhật cần rào là \(x\,\left( m \right),\,\,0 < x \le 16\).

Diện tích khu đất này là \(242\,{m^2}\) nên chiều dài của khu đất là \(\frac{{242}}{x}\,\,\left( m \right)\)

Tổng chiều dài lưới thép rào quanh khu đất hình chữ nhật là \(2x + \frac{{242}}{x}\,\,\left( m \right)\)

Xét hàm số \(y = 2x + \frac{{242}}{x}\,\,,\,\,x \in \left( {0\,;\,16} \right]\)

Ta có \(y' = 2 - \frac{{242}}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^2} - 242}}{{{x^2}}}\) và \(y' = 0 \Rightarrow 2{x^2} - 242 = 0 \Rightarrow x = 11\) (do \(x \in \left( {0\,;\,16} \right]\))

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {2x + \frac{{242}}{x}} \right) =  + \infty \,\,;\,\,y\left( {11} \right) = 44;\,\,y\left( {16} \right) = \frac{{377}}{8}\)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, chiều dài lưới thép ngắn nhất là \(44\,m\) khi chiều rộng khu đất là \(11\,m\)