Hỏi cần xây bể có chiều cao h bằng bao nhiêu mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất?. 

Đáp số: \(1,5\).

Gọi \(x\)\(\left( {x > 0} \right)\) là chiều rộng hình chữ nhật đáy bể, suy ra chiều dài hình chữ nhật đáy bể là \(3x.\)

\(V = h.x.3x = h.3{x^2} = 18\) \( \Rightarrow h = \frac{{18}}{{3{x^2}}} = \frac{6}{{{x^2}}}\).

Gọi \(P\) là diện tích xung quanh cộng với diện tích một đáy bể của hình hộp chữ nhật.

Nguyên vật liệu ít nhất khi \(P\) nhỏ nhất.

\(P = 2hx + 2.h.3x + 3{x^2} = 2.\frac{6}{{{x^2}}}.x + 2.\frac{6}{{{x^2}}}.3x + 3{x^2} = \frac{{48}}{x} + 3{x^2}.\)

Đặt \(f\left( x \right) = \frac{{48}}{x} + 3{x^2}\), \(\left( {x > 0} \right)\).

Ta có hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 48}}{{{x^2}}} + 6x\),\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 48}}{{{x^2}}} + 6x = 0 \Leftrightarrow {x^3} = 8 \Leftrightarrow x = 2\).

Bảng biến thiên:

Suy ra vật liệu ít nhất khi \(h = \frac{6}{{{x^2}}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\left( m \right)\).