Hỏi cần cẩu nâng được thùng hàng có khối lượng (đơn vị: kg) tối đa là bao nhiêu?

Lời giải

Theo hình vẽ ta có các vectơ \[\overrightarrow {AS} ,\,\overrightarrow {BS} ,\,\overrightarrow {CS} ,\,\overrightarrow {DS} \] biểu thị các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} ,\,\overrightarrow {{F_4}} \).

Khi đó, \(\overrightarrow {{F_1}}  + \,\overrightarrow {{F_2}}  + \,\overrightarrow {{F_3}}  + \,\overrightarrow {{F_4}}  = \overrightarrow {AS}  + \,\overrightarrow {BS}  + \,\overrightarrow {CS}  + \,\overrightarrow {DS} \)

\( =  - \left( {\overrightarrow {SA}  + \,\overrightarrow {SB}  + \,\overrightarrow {SC}  + \,\overrightarrow {SD} } \right) =  - \left[ {\left( {\overrightarrow {SA}  + \,\overrightarrow {SC} } \right) + \,\left( {\overrightarrow {SB}  + \,\overrightarrow {SD} } \right)} \right]\)

\( =  - \left( {2\overrightarrow {SO}  + 2\overrightarrow {SO} } \right) =  - 4\overrightarrow {SO} \).

Vì các đoạn dây cáp có độ dài bằng nhau và góc tạo bởi hai đoạn dây cáp đối diện nhau là 60° nên tam giác \[SAC\] cân và \[\widehat {ASC} = 60^\circ \], do đó tam giác \[SAC\] đều, suy ra \[SO = SA \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].

Khi đó, \(\left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \,\overrightarrow {{F_2}}  + \,\overrightarrow {{F_3}}  + \,\overrightarrow {{F_4}} } \right| = 4SO = 4 \cdot SA \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 4 \cdot 5\,000 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\,000\sqrt 3 \,\,{\rm{(N)}}{\rm{.}}\)

Ta có \[\overrightarrow P  = m \cdot \overrightarrow g \], suy ra \[P = m \cdot g = 10m\].

Để cần cẩu nâng được thùng hàng thì \(\left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \,\overrightarrow {{F_2}}  + \,\overrightarrow {{F_3}}  + \,\overrightarrow {{F_4}} } \right| \ge P\).

Suy ra \(10\,000\sqrt 3  \ge 10m \Rightarrow m \le 1\,000\sqrt 3 \,\,{\rm{(kg)}}\).

Vậy \(m \le 1\,000\sqrt 3 \,\,{\rm{(kg)}}\).