Hỏi bác nông dân đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?

Gọi \(M,\,N\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,\,B\) lên \(CD\)

Đặt \(x = MD\), \(\left( {0 < x < a} \right)\) suy ra \(AM = \sqrt {A{D^2} - M{D^2}}  = \sqrt {{a^2} - {x^2}} \)

Diện tích của mảnh vườn hình thang cân là \(S\left( x \right) = \frac{{\left( {AB + CD} \right)AM}}{2} = \left( {a + x} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} \).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left( {a + x} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} \)trên khoảng \(\left( {0 < x < a} \right)\)

Đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 2{x^2} - ax + {a^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - a \notin \left( {0 < x < a} \right)\\x = \frac{a}{2} \in \left( {0 < x < a} \right)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0\,;\,a} \right)\)

Từ bảng biến thiên suy ra \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left( {0;\,a} \right)} f\left( x \right) = f\left( {\frac{a}{2}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}\)

Vậy bác nông dân có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là \(\frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}\)\({{\rm{m}}^2}\).