Mô hình toán học sau đây được sử dụng trong quan sát chuyển động của một vật. Trong không gian cho hệ tọa độ có lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục và độ dài của mỗi vectơ đơn vị bằng 1 mét. Cho hai điểm và , trong đó điểm có tọa độ là . Một vật (coi như là một hạt) chuyển động thẳng với tốc độ phụ thuộc thời gian (giây) theo công thức (m/giây), trong đó là hằng số dương và . Ở thời điểm ban đầu , vật đi qua với tốc độ (m/giây) và hướng tới . Sau 2 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được quãng đường mét. Gọi là vectơ cùng hướng với . Biết rằng và góc giữa vectơ và các vectơ có số đo tương ứng bằng .

a) .

b) Phương trình đường thẳng là .

c) .

d) Giả sử sau 5 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đến điểm . Khi đó .

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin x + cos x là