Hình thang ABCD (AB // CD) có các tia phân giác của các góc A và góc D gặp nhau

a) Ta có AE, DE lần lượt là tia phân giác của các góc \(\widehat {BAD}\) và \(\widehat {ADC}\).

Suy ra \(\widehat {BAD} = 2\widehat {EAD}\) và \(\widehat {ADC} = 2\widehat {ADE}\).

Ta có AB // CD (giả thiết).

Suy ra \(\widehat {BAD} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (cặp góc trong cùng phía).

Do đó \(2\left( {\widehat {EAD} + \widehat {ADE}} \right) = 180^\circ \).

Vì vậy \(\widehat {EAD} + \widehat {ADE} = 90^\circ \).

Tam giác AED, có: \(\widehat {AED} = 180^\circ  - \widehat {EAD} + \widehat {ADE} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).

Vậy \(\widehat {AED} = 90^\circ \).

b) Gọi F là giao điểm của AE và DC.

Tam giác ADF có DE vừa là đường phân giác, vừa là đường cao.

Suy ra tam giác ADF cân tại D.

Do đó DE cũng là đường trung tuyến của tam giác ADF và AD = DF.

Vì vậy AE = EF.

Xét ∆ABE và ∆FCE, có:

AE = AF (chứng minh trên);

\(\widehat {AEB} = \widehat {CEF}\) (đối đỉnh);

\(\widehat {BAE} = \widehat {EFC}\) (AB // CD, cặp góc so le trong).

Do đó ∆ABE = ∆FCE (g.c.g).

Suy ra AB = CF (cặp cạnh tương ứng).

Ta có DF = DC + CF.

Vậy AD = CD + AB.