Hình phẳng \[D\] (phần gạch chéo trên hình) giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right) = \sqrt {2x} ,\] đường thẳng

16/150

Hình phẳng \[D\] (phần gạch chéo trên hình) giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right) = \sqrt {2x} ,\] đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và trục hoành. Thể tích khối tròn xoay thu được khi hình phẳng \[D\] quay quanh trục \[Ox\] là $Hình phẳng \[D\] (phần gạch chéo trên hình) giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right) = \sqrt {2x} ,\] đường thẳng (ảnh 1)$

$\frac{{8\pi }}{3}$.

$\frac{{10\pi }}{3}$.

$\frac{{16\pi }}{3}$.

$\frac{{2\pi }}{3}$.

Giải thích

Đường thẳng đi đi qua hai điểm$\left( {1\,;\,\,0} \right)\,,\,{\mkern 1mu} \left( {2\,;\,\,2} \right)$nên có phương trình

$\frac{{x - 1}}{{2 - 1}} = \frac{{y - 0}}{{2 - 0}} \Leftrightarrow y = 2x - 2$.

Khi đó thể tích phần tròn xoay cần tính là:

$V = \pi \int\limits_0^1 {2xdx} + \pi \int\limits_1^2 {\left| {2x - {{\left( {2x - 2} \right)}^2}} \right|dx} $$ = \pi \int\limits_0^1 {2xdx} + \pi \int\limits_1^2 {\left| { - 4{x^2} + 10x - 4} \right|dx} $

$ = \pi \cdot \left. {{x^2}} \right|_0^1 + \left. {\pi \left( { - \frac{{4{x^3}}}{3} + 5{x^2} - 4x} \right)} \right|_1^2$$ = \pi \left( {1 + \frac{4}{3} + \frac{1}{3}} \right) = \frac{{8\pi }}{3}$.Chọn A.