Hình minh hoạ sơ đồ một ngôi nhà trong không gian Oxyz, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật. Khi đó:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                   b) Sai.                  c) Sai.                d) Đúng.

a) Đúng. Vì nền nhà là hình chữ nhật nên OACB là hình chữ nhật, suy ra x_A = x_B = 4, y_C = y_B = 5.

Do điểm A nằm trên trục Ox nên toạ điểm A(4; 0; 0); điểm C nằm trên trục Oy nên toạ độ điểm C(0; 5; 0).

Tường nhà là hình chữ nhật nên OCHE là hình chữ nhật suy ra y_H = y_C = 5, z_H = z_E = 3.

Do H nằm trên mặt phẳng (Oyz) nên toạ độ điểm H(0; 5; 3).

Tứ giác OAFE là hình chữ nhật nên x_F = x_A = 4, z_F = z_E = 3.

Do F nằm trên mặt phẳng (Oxz) nên toạ độ điểm F(4; 0; 3).

b) Sai. Ta có \(\overrightarrow {AH} = \left( { - 4;5;3} \right)\).

c) Sai. Ta có: \[\overrightarrow {AF} = \left( {0;0;3} \right)\] nên \(\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {AF} = 0 + 0 + 9 = 9\).

d) Đúng. Để tính góc đốc của mái nhà, ta tính số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng FG, hai mặt lần lượt là (FGQP) và (FGHE).

Do mặt phẳng (Oxz) vuông góc với hai mặt phẳng (FGQP) và (FGHE) nên \(\widehat {PFE}\) là góc phẳng nhị diện cần tìm.

Ta có \(\overrightarrow {FP} = \left( { - 2;0;1} \right)\) và \(\overrightarrow {FE} = \left( { - 4;0;0} \right)\).

\(\cos \widehat {PFE} = \cos \left( {\overrightarrow {FP} ,\overrightarrow {FE} } \right) = \frac{{\overrightarrow {FP} \cdot \overrightarrow {FE} }}{{\left| {\overrightarrow {FP} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {FE} } \right|}} = \frac{{\left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 4} \right) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Vậy \(\widehat {PFE} \approx 26,6^\circ \).