$Cho tam giác \(MNP\) vuông cân tại \(P\) có cạnh PN = 5 cm. Một đường thẳng \(d\) bất kì đi qua đỉnh (ảnh 1)$

Gọi \(MH,\,\,NK\) lần lượt là khoảng cách từ \(M,\,\,N\) đến đường thẳng \(d.\) Khi đó \(MH \bot d,\,\,NK \bot d.\)

Do \(\Delta MNP\) vuông tại \(P\) nên \(\widehat {{P_1}} + \widehat {{P_2}} = 90^\circ .\) (1)

Do \(\Delta MHP\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat {{P_1}} + \widehat {PMH} = 90^\circ .\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {{P_2}} = \widehat {PMH}.\)

Xét \(\Delta MHP\) (vuông tại \(H)\) và \(\Delta NPK\) (vuông tại \(K)\) có:

\(MP = PN\) (do \(\Delta MNP\) cân tại \(P),\)

\(\widehat {{P_2}} = \widehat {PMH}.\)

Do đó \(\Delta MHP = \Delta NPK\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra \(MH = PK\) (hai cạnh tương ứng).

Do \(\Delta NKP\) vuông tại \(K\) nên theo định lí Pythagore ta có:

\(P{N^2} = P{K^2} + N{K^2} = M{H^2} + N{K^2}\)

Mà \(PN = 5{\rm{\;cm}}\) nên \(M{H^2} + N{K^2} = {5^2} = 25\) (không thay đổi).

Vậy tổng bình phương các khoảng cách từ \(M\) và \(N\) đến đường thẳng \(d\) không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng \(d.\).

Hình chóp tứ giác đều có đáy là A. tứ giác. B. hình vuông.