Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a và mặt bên tạo với đáy góc 45 độ

Gọi \(G\) là tâm của tam giác đều \[ABC\] và \(M\) là trung điểm của \[BC.\]

Theo giả thiết góc giữa mặt bên và đáy bằng \(45^\circ \) suy ra \(\widehat {SMG} = 45^\circ .\)

Tam giác \[ABC\] đều cạnh \(a\) nên \(AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\) và \(GM = \frac{1}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\)

Xét tam giác \[SGM\] có: \(\tan \widehat {SMG} = \frac{{SG}}{{GM}} \Leftrightarrow \tan 45^\circ  = \frac{{SG}}{{GM}} \Rightarrow SG = GM = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Vậy thể tích khối chóp \(S.ABC\) là: \({V_{S \cdot ABC}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot SG = \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{6} = \frac{{{a^3}}}{{24}}.\)

Chọn B.