Hình bên dưới minh họa mặt đứng của một con kênh đặt trong hệ trục tọa độ Oxy. Đáy của con kênh là một đường cong cho bởi phương trình y = f ( x ) = 3 100 ( − 1/3 x^3 + 5x^2 )
20/20
Hình bên dưới minh họa mặt đứng của một con kênh đặt trong hệ trục tọa độ Oxy. Đáy của con kênh là một đường cong cho bởi phương trình \(y = f\left( x \right) = \frac{3}{{100}}\left( { - \frac{1}{3}{x^3} + 5{x^2}} \right)\). Biết đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét, diện tích mặt cắt đứng của mức nước trong con kênh là một phân số tối giản có dạng \(\frac{a}{b}\) m2, trong đó \(a,b \in \mathbb{N}*\). Tìm a.
Diện tích cần tìm là \(S = \int\limits_{ - 5}^{10} {\left| {5 - f\left( x \right)} \right|} = \int\limits_{ - 5}^{10} {\left| {5 - \frac{3}{{100}}\left( { - \frac{1}{3}{x^3} + 5{x^2}} \right)} \right|} dx\)\( = \int\limits_{ - 5}^{10} {\left( {5 + \frac{1}{{100}}{x^3} - \frac{{15}}{{100}}{x^2}} \right)} dx\)
\( = \left. {\left( {5x + \frac{1}{{400}}{x^4} - \frac{5}{{100}}{x^3}} \right)} \right|_{ - 5}^{10} = 25 + \frac{{275}}{{16}} = \frac{{675}}{{16}}\) (m2).
Suy ra \(a = 675\).
Trả lời: 675.