Hệ phương trình { 3 √ x + 2 √ y = 16; 2 √ x − 3 √ y = − 11 có nghiệm là

Đáp án đúng là:

Điều kiện \(x \ge 0,\,y \ge 0\). Đặt \(a = \sqrt x ,\,b = \sqrt y \,\,\left( {a,\,b \ge 0} \right)\)

Hệ phương trình trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a + 2b = 16}\\{2a - 3b = - 11}\end{array}} \right.\).

Nhân hai vế phương trình thứ nhất với \(3,\) phương trình thứ hai với \(2,\) ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9a + 6b = 48}\\{4a - 6b = - 22}\end{array}} \right..\)

Cộng hai vế của hai phương trình ta được: \(\left( {9a + 6b} \right) + \left( {4a - 6b} \right) = 48 - 22\)

\(13a = 26\)

\(a = 2\)

Thế \(a = 2\) vào phương trình thứ nhất ta được: \(3.2 + 2b = 16\) hay \(b = 5\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = 5}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt x = 2}\\{\sqrt y = 25}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4}\\{y = 25}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất \(\left( {4;25} \right).\)