Hãy xác định khoảng cách A O sao cho góc quan sát B O C là lớn nhất.
20/22
Một màn hình \(BC\) có chiều cao \(1,4m\) được đặt thẳng đứng và mép dưới của màn hình cách mặt đất một khoảng \(BA = 1,8m\). Một chiếc đèn quan sát màn hình được đặt ở vị trí \(O\) trên mặt đất. Hãy xác định khoảng cách \(AO\) sao cho góc quan sát \(BOC\) là lớn nhất.
Đáp số: \(2,4\).
Đặt \[OA = x\,\,\left( m \right)\] với \[x > 0\]
Ta có: \[{\rm{tan}}\widehat {BOC} = {\rm{tan}}\left( {\widehat {AOC} - \widehat {AOB}} \right) = \frac{{\tan \widehat {AOC} - \tan \widehat {AOB}}}{{1 + \tan \widehat {AOC}.\tan \widehat {AOB}}}\]
\[ = \frac{{\frac{{AC}}{{OA}} - \frac{{AB}}{{OA}}}}{{1 + \frac{{AC.AB}}{{O{A^2}}}}} = \frac{{\frac{{1,4}}{x}}}{{1 + \frac{{3,2.1,8}}{{{x^2}}}}} = \frac{{1,4x}}{{{x^2} + 5,76}}\]
Để góc quan sát \(BOC\) lớn nhất thì \(\tan \widehat {BOC}\) lớn nhất.
Xét hàm số \[f(x) = \frac{{1,4x}}{{{x^2} + 5,76}}\] với \[x > 0\].
Ta có hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và \[f'(x) = \frac{{ - 1,4{x^2} + 1,4.5,76}}{{{{\left( {{x^2} + 5,76} \right)}^2}}}\], \[f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2,4\]
Lập bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì ta có \(f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 2,4\).
Vậy \(AO = 2,4\,\,\,m\) thì góc quan sát \(BOC\) lớn nhất.