hãy tính theo a khoảng cách d từ M đến mặt phẳng (SAC)

Đáp án

Phương pháp giải: - Đổi dM;SAC sang dH;SAC.

- Trong ABCD kẻ HE⊥ACE∈AC, trong SHE kẻ HN⊥SEN∈SE, chứng minh HN⊥SAC

- Xác định góc giữa SC và , từ đó tính SH.

- Sử dụng SHAC=12HE.AC=12SABC, từ đó tính HE.

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính HN.

Giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm AB. Vì ΔSAB cân tại S nên SH⊥AB.

Ta có: SAB∩ABCD=ABSH⊂ABCD,SH⊥AB ⇒SH⊥ABCD.

Gọi K=HD∩AC. Áp dụng định lí T-aet ta có DKHK=DCAH=2⇒DK=2HK.

Ta có MD∩SAC=S⇒dM;SACdD;SAC=SMSD=12

⇒dM;SAC=12dD;SAC.

Lại có DH∩SAC=K nên dD;SACdH;SAC=DKHK=2⇒dD;SAC=2dH;SAC.

Do đó dM;SAC=dH;SAC

Trong ABCDkẻ HE⊥ACE∈AC, trong SHE kẻ HN⊥SEN∈SE ta có:

AC⊥HEAC⊥SH⇒AC⊥SHE⇒AC⊥HN

HN⊥SEHN⊥AC⇒HN⊥SAC⇒dH;SAC=HN

Vì SH⊥ABCD nên HC là hình chiếu vuông góc của SC lên ABCD.

⇒∠SC;ABCD=∠SC;HC=∠SCH=450

⇒ΔSHC vuông cân tại H ⇒SH=HC=BC2+BH2=2a2+a22=a172.

Ta có: SHAC=12HE.AC=12SABC

⇒HE.AC=12.AB.BC⇒HE=12.AB.BCAC=12.a.2aa2+2a2=a5

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHE ta có:

Nên HN=SH.HESH2+HE2=a172.a517a24+a25=a151389

Vậy dM;SAC=a151389.