Hãy chọn hướng mở một con đường đi qua thành phố sao cho tổng các khoảng cách từ nó tới

Giả sử AC≥BC (C là vị trí thành phố, còn B và A là vị trí của hai điểm dân cư). Gọi D là điểm đối xứng với Bqua điểm C. Con đường ta cần tìm có thể cắt đoạn AB tại E hoặc cắt đoạn AD tại F.

1)                  Trường hợp thứ nhất.

Diện tích SABC=SAEC+SBEC

Nghĩa là SABC=12x.CE+12y.CE=12(x+y).CE

2)                  Trường hợp thứ hai. Tương tự như phần 1 (x là khoảng cách từ A đến CF, y là khoảng cách từ B đến CF), diện tích SACD=SAFC+SDFC

Nghĩa là: SACD=12x.CF+12y.CF=12(x+y).CF.

Vì vậy giá trị x+y nhỏ nhất khi các giá trị CE hoặc CF tương ứng càng lớn. Độ dài này lớn nhất khi E≡F≡A.

Nếu AC>BC=DC hoặc trường hợp AC=BC=DC thì con đường đi qua B hoặc đi qua A đều như nhau.

Kết luận: Con đường phải đi qua điểm dân cư cách thành phố xa hơn, còn nếu thành phố C cách đều hai điểm dân cư thì con đường đi qua bất cứ điểm dân cư nào.