Hãy cho biết chiến sỹ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sỹ 1km theo đường chim bay và chiến sỹ cách bờ bên kia 100m.

Gọi \(A\) là mục tiêu; \(B\) là vị trí chiến sỹ và \(BD\) là đường bơi của chiến sỹ.

Chọn một đơn vị độ dài là 100 m suy ra \[BC = 1;AB = 10;\]\[AC = 3\sqrt {11} \].

Gọi vận tốc bơi của chiến sỹ là một đơn vị vận tốc thì vận tốc chạy của chiến sỹ là 3 đơn vị vận tốc. Gọi \(x\) là quãng đường chiến sỹ bơi suy ra \(BD = x\)

Vậy quãng đường chiến sỹ chạy là \[AD = AC - CD = 3\sqrt {11} - \sqrt {{x^2} - 1} \].

Thời gian chiến sỹ đến được mục tiêu là:\[t = \frac{{3\sqrt {11} - \sqrt {{x^2} - 1} }}{3} + \frac{x}{1} = \sqrt {11} - \frac{1}{3}\sqrt {{x^2} - 1} + x\]

Xét hàm \[f\left( x \right) = \sqrt {11} - \frac{1}{3}\sqrt {{x^2} - 1} + x\] có \[f'\left( x \right) = 1 - \frac{1}{3}\frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\left( {tm} \right)\\x = - \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\].

Bảng biến thiên:

Vậy thời gian chiến sỹ đến mục tiêu ngắn nhất khi \[f{\left( x \right)_{\min }} \Rightarrow x = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\]

Vậy chiến sỹ phải bơi \[\frac{{3\sqrt 2 }}{4}.100 = 75\sqrt 2 \left( {\rm{m}} \right)\].