Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng. Giả sử lãi suất hằng tháng là r không đổi và theo thể thức lãi kép (tiền lãi của tháng trước được cộng vào v

Hướng dẫn giải

a)

– T₁ là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 2:

T₁ = (a + ar) + a = a(1 + r) + a = a[(1 + r) + 1].

– T₂ là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 3:

T₂ = T₁ + T₁ . r + a

= a[(1 + r) + 1] + a[(1 + r) + 1]r + a

= a[(1 + r) + 1](1 + r) + a

= a(1 + r)2 + a(1 + r) + a

= a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1].

– T₃ là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 4:

T₃ = T₂ + T₂ . r + a

= a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1] + a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1]r + a

= a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1](1 + r) + a

= a(1 + r)3 + a(1 + r)2 + a(1 + r) + a

= a[(1 + r)3 + (1 + r)2 + (1 + r) + 1].

b) Từ câu a) ta có thể dự đoán:

T_n = a[(1 + r)n + ... + (1 + r)2 + (1 + r) + 1]

=a.1−(1+r)n+11−(1+r)=a.1−(1+r)n+1−r=a.(1+r)n+1−1r.

Ta chứng minh bằng quy nạp toán học.

Bước 1. Với n = 1 ta có:

T₁ = a[(1 + r) + 1]

=a.r2+2rr=a.(r2+2r+1)−1r=a.(1+r)2−1r=a.(1+r)1+1−1r.                                                                                                 

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, tức là ta có: T_k = a.(1+r)k+1−1r.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:T_{k + 1} = a.(1+r)(k+1)+1−1r.

Thật vậy,

T_{k + 1} = T_k + T_k . r + a

=a.(1+r)k+1−1r+a.(1+r)k+1−1r.r+a

=a[(1+r)k+1−1r+(1+r)k+1−1r.r+1]

=a[(1+r)k+1−1r+[(1+r)k+1−1]rr+rr]

 

=a.(1+r)k+1−1+[(1+r)k+1−1]r+rr

=a.(1+r)k+1−1+r(1+r)k+1−r+rr

=a.(1+r)k+1−1+r(1+r)k+1r

=a.(1+r)(1+r)k+1−1r

=a.(1+r)k+2−1r

 =a.(1+r)(k+1)+2−1r.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Vậy T_n = a.(1+r)n+1−1rvới mọi số tự nhiên n ≥ 1.