Hàm số xác định với mọi x

a) Sai. Tập xác định \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\]

b) Đúng Tập xác định \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\] và có \(y' = \frac{{2{x^2} - 4mx + 3m + 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;5} \right)\)

\( \Leftrightarrow y' = \frac{{2{x^2} - 4mx + 3m + 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} \le 0\forall x \in \left( {1;5} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - 4mx + 3m + 1 \le 0\forall x \in \left( {1;5} \right)\\m \notin \left( {1;5} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 3 \le 0\\ - 17m + 51 \le 0\\\left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 3\\m \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 5\)

Do nguyên dương bé hơn 2024 nên \(5 \le m \le 2023\). Vậy có tất cả 2019 giá trị.

c) Sai. Với \(m = 0\) thì \(y' = \frac{{2{x^2} + 1}}{{{x^2}}} > 0\,\forall x \ne 0\)

Vậy hàm số không có cực trị với \(m = 0\).

d) Đúng. Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi đó hai điểm cực trị hàm số luôn nằm trên   đường thẳng \(y = 4x + 2\)

Chú ý:

Áp dụng tính chất: Nếu \[{x_0}\] là điểm cực trị của hàm số hữu tỷ \[y = \frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}\] thì giá trị cực trị tương ứng của hàm số là \[{y_0} = \frac{{u\left( {{x_0}} \right)}}{{v\left( {{x_0}} \right)}} = \frac{{u'\left( {{x_0}} \right)}}{{v'\left( {{x_0}} \right)}}\]. Suy ra với bài toán trên ta có phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \[y = \frac{{{{\left( {2{x^2} + 2x - 1 - 5m} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - m} \right)}^\prime }}} = 4x + 2\].