Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng ( − ∞ ; − 2 ) và ( − 2 ; + ∞ ) .

Câu 4

Giải chi tiết( giải thích)

a) Đ

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D\).

Vậy hàm số luôn đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).

b) Đ

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}} =  - \infty \)

Vậy \(x =  - 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

c) s

Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} + x - 3}}{{{x^2} + 2x}} = 1\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - x - 3}}{{x + 2}} =  - 1\).

Vậy \(y = x - 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

d) s

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} + 2x - \left( {x + 2} \right) - 1}}{{x + 2}} = x - 2 - \frac{1}{{x + 2}}\).

Để \(x \in \mathbb{Z}\) và \(y \in \mathbb{Z}\) thì suy ra \(\frac{1}{{x + 2}} \in \mathbb{Z}\) suy ra \(\left[ \begin{array}{l}x + 2 = 1\\x + 2 =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - 3\end{array} \right.\).

Với \(x =  - 1 \Rightarrow y =  - 3\).

Với \(x =  - 3 \Rightarrow y =  - 3\).

Vậy có 2 điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị \(\left( C \right)\), số phần tử của \(S\) là \(2\).