Hàm số f ( x ) = x ^3 + 3 m ^2 x + 2 luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 0 ; 1 ] với mọi giá trị của m .

a) ĐÚNG

Với mọi giá trị của \(m\), hàm số\(f\left( x \right) = {x^3} + 3{m^2}x + 2\) là hàm số đa thức bậc 3 liên tục trên \(\mathbb{R}\)nên liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\), do đó hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) với mọi giá trị của \(m\).

b) SAI

Khi \(m = 0\), hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 2\) có\(f'\left( x \right) = 3{x^2},f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R},\) suy ra hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).

Mặt khác \(f\left( 0 \right) = 2 > 0\), do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) bằng \(y\left( 0 \right)\).

c) SAI

Khi \(m = 1\), hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 3x + 2 \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\), có \(y\left( 0 \right) = 2,y\left( { - 2} \right) = 12\).

d) SAI

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 3{m^2}x + 2 \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} + 3{m^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R},\forall m\).  Mặt khác

\(y\left( 0 \right) = 2,y\left( 1 \right) = \left| {3{m^2} + 3} \right|\)

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{m^2} + 3 = 5\\3{m^2} + 3 =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{m^2} - 2 = 0{\rm{  }}\left( 1 \right)\\3{m^2} + 8 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Phương trình \(\left( 2 \right)\) vô nghiệm, áp dụng định lí Vi-et cho phương trình \(\left( 1 \right)\) ta được tổng các nghiệm là \({m_1} + {m_2} =  - \frac{b}{a} = 0\).

Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = 5\) là \(0\).