Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0 ; 1 )

15/22

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2x + 6}}$ có đồ thị $\left( C \right)$.

a) [NB]. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;1} \right)$

b) [TH]. Hàm số đạt cực đại tại $x = - 4$.

c) [VD]. Với $m = \frac{3}{8}$ thì đường thẳng $\left( \Delta \right)$ đi qua hai điểm cực trị của đồ thị $\left( C \right)$ vuông góc với đường thẳng $d:\,\left( {2m + 3} \right)x + my + 2 = 0$.

d) [VDC].Có $2024$ giá trị nguyên của tham số $m \in \left[ { - 2;2028} \right]$ để giá trị lớn nhất của hàm số $h\left( x \right) = f\left( {\cos x - \sqrt 3 \sin x + 1} \right) + {m^2}$ lớn hơn $5$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) $y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2x + 6}}$.

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

${y^/} = \frac{{{x^2} - 2x + 6 - \left( {2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 6} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {y^/} = \frac{{ - {x^2} - 2x + 8}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 6} \right)}^2}}}.$

Suy ra ${y^/} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 4\\x = 2\end{array} \right..$ Bảng biến thiên

$Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2x + 6}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. a) [NB]. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;1} \right)$ (ảnh 1)$

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 4;2} \right)$. Vậy câu a) đúng.

b) Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại $x = 2$. Vậy câu b) sai.

c) ${y^/} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 4;\,y = \frac{{ - 1}}{{10}}\\x = 2;\,\,y = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A\left( { - 4;\,\frac{{ - 1}}{{10}}} \right)$ và $B\left( {2;\,\frac{1}{2}} \right)$ là $\left( \Delta \right):x - 10y + 3 = 0.$ Theo giả thiết, do $d \bot \Delta $ nên $1.\left( {2m + 3} \right) - 10.m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{8}.$ Vậy câu c) đúng.

d) Đặt \[t = \cos x - \sqrt 3 \sin x + 1 \Leftrightarrow t = 2\left( {\frac{1}{2}.\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x} \right) + 1 \Leftrightarrow t = 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 1\]; $t \in \left[ { - 1;3} \right].$Ta có $g\left( t \right) = f\left( t \right) + {m^2} = \frac{{t + 1}}{{{t^2} - 2t + 6}} + {m^2},\,\,\,t \in \left[ { - 1;3} \right] \Rightarrow {g^/}\left( t \right) = \frac{{ - {t^2} - 2t + 8}}{{{{\left( {{t^2} - 2t + 6} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 4\,\left( l \right)\\t = 2\,\left( n \right)\end{array} \right..$ Ta tính được $g\left( { - 1} \right) = {m^2},\,\,\,g\left( 2 \right) = \frac{1}{2} + {m^2},\,\,f\left( 3 \right) = \frac{4}{9} + {m^2}.$ Do đó $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right) = {m^2} + \frac{1}{2}.$ Theo giả thiết, ${m^2} + \frac{1}{2} > 5 \Leftrightarrow {m^2} > \frac{9}{2} \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}; + \infty } \right).$ Kết hợp với $m$ là số nguyên và $m \in \left[ { - 2;2028} \right]$ ta suy ra có $2026$ giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy câu d) sai.