Hàm số đồng biến trên ( − ∞ ; 3 ) .

Câu 2

Giải chi tiết( giải thích)

a) s

Tập xác định \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\].

\[y' = \frac{{ - 4}}{{{{(x - 3)}^2}}} < 0;\forall x \in D\]

Hàm số nghịch biến trên \[( - \infty ;3)\] và \[(3; + \infty )\].

b) Đ

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 3}} = 1\]

Nên hàm số có tiệm cận ngang \[y = 1\]

c) s

\[\begin{array}{l}D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\\y' = \frac{{ - 4}}{{{{(x - 3)}^2}}} < 0;\forall x \in D\end{array}\]

Nên \[\mathop {\max }\limits_{[4;7]} y = y(4) = 5 = M\]

\[\mathop {\min }\limits_{[4;7]} y = y(7) = 2 = m\]

Vậy \[\frac{M}{m} = \frac{5}{2}\]

d) Đ

Hoành độ giao điểm của \[y = x - m\]và \[y = \frac{{x + 1}}{{x - 3}}\] là nghiệm của phương trình

\[x - m = \frac{{x + 1}}{{x - 3}}\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} - (m + 4)x + 3m - 1 = 0\]

Ta có \[\Delta  = {(m + 4)^2} - 4(3m - 1) = {m^2} - 4m + 20 > 0;\forall m \in \mathbb{R}\]

Khi \[x = 3\] thì \[9 - (m + 4)3 + 3m - 1 = 0\] \[ \Leftrightarrow 0m = 4\] ( Vô lý)

Nên \[x = 3\] không là nghiệm

Nên phương trình luôn có \[2\]nghiệm khác \[3\].

Hay luôn tồn tại \[2\]giao điểm \[\forall m \in \mathbb{R}\].