Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn ( O ; R ) cắt nhau tại A . Vẽ đường kính C D đường tròn ( O ) . Khẳng định nào sau đây là đúng?

9/15

Hai tiếp tuyến tại \[B\] và \[C\] của đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] cắt nhau tại \[A.\] Vẽ đường kính \[CD\] đường tròn \[\left( O \right).\] Khẳng định nào sau đây là đúng?

\[BD\,{\rm{//}}\,OA.\]

\[BD \bot OA.\]

\[BD\,{\rm{//}}\,AC.\]

\[BD,OA\] cắt nhau.

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn ( O ; R ) cắt nhau tại A . Vẽ đường kính C D đường tròn ( O ) . Khẳng định nào sau đây là đúng? (ảnh 1)

Gọi \[H\] là giao điểm của \[BC\] và \[OA.\]

Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có hai tiếp tuyến tại \[B\] và \[C\] cắt nhau tại \[A\] nên áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta được \[AB = AC.\] Do đó điểm \[A\] nằm trên đường trung trực của đoạn \[BC\] (1)

Đường tròn \[\left( O \right)\] có \[OB = OC = R\] nên điểm \[O\] nằm trên đường trung trực của đoạn \[BC\] (2)

Từ (1), (2), ta thu được \[OA\] là đường trung trực của đoạn \[BC.\]

Suy ra \[OA \bot BC\] tại \[H\] là trung điểm của \[BC.\] (3)

Đường tròn \[\left( O \right)\] có \[CD\] là đường kính nên tâm \[O\] là trung điểm \[CD\] hay \[OC = OD = \frac{{CD}}{2} = BO.\]

Xét tam giác \[BCD\] có \[BO\] là đường trung tuyến ứng với cạnh \[CD\] và \[BO = \frac{{CD}}{2}\] nên tam giác \[BCD\] vuông tại \[B\] hay \[BD \bot BC\] (4)

Từ (3), (4), ta suy ra \[BD\,{\rm{//}}\,OA.\]

Vậy ta chọn phương án A.