Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu EF bắc qua sông. Biết rằng thành phố A cách con sông một khoảng là 4 km và thành phố B cách con sông một kh
18/22
Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu \(EF\) bắc qua sông.Biết rằng thành phố \(A\) cách con sông một khoảng là \(4km\) và thành phố \(B\) cách con sông một khoảng là \(6km\)(hình vẽ), biết \(HE + KF = 20km\) và độ dài \(EF\) không đổi. Hỏi xây cây cầu tại vị trí \(E\)cách thành phố \(A\) là bao nhiêu \(km\) để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường \(AEFB\))? (kết quả làm tròn đến phần trăm).
_____
Đặt \[HE = {x_{}}{,_{}}FK = y\], với \[x,\,y > 0\]
Ta có: \[HE + KF = 20 \Rightarrow x + y = 20\], \[\left\{ \begin{array}{l}AE = \sqrt {16 + {x^2}} \\BF = \sqrt {36 + {y^2}} = \sqrt {36 + {{\left( {20 - x} \right)}^2}} \end{array} \right.\]
Nhận xét: Vì \[EF\] không đổi nên \[AB\] ngắn nhất khi \[AE + BF\] nhỏ nhất.
Ta có \[AE + BF\]\[ = \sqrt {{x^2} + 16} + \sqrt {{{(20 - x)}^2} + 36} = \sqrt {{x^2} + 16} + \sqrt {{x^2} - 40x + 436} = f(x)\]
\[f'(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} + \frac{{x - 20}}{{\sqrt {{x^2} - 40x + 436} }},\,\forall x \in \left( {0;20} \right)\].
Cho \[f'(x) = 0 \Rightarrow x = 8\]
Bảng biến thiên
Vậy \(AE = \sqrt {{8^2} + 16} \approx 8,94km\).