Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu E F bắc qua sông biết rằng thành phố A cách con sông một khoảng là 4 km và thành phố B cách con sông một

19/22

Hai thành phố $A$ và $B$ cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu $EF$ bắc qua sông biết rằng thành phố $A$ cách con sông một khoảng là $4$km và thành phố $B$ cách con sông một khoảng là $6$km (được mô hình hoá như hình vẽ), biết $HE + KF = 20$km và độ dài $EF$ không đổi. Hỏi độ dài $EH$ bằng bao nhiêu kilomet để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường $AEFB$)?

Giải thích

Trả lời: 8

$Hai thành phố $A$ và $B$ cách nhau một c (ảnh 1)$

Đặt \[HE = {x_{}}{,_{}}FK = y\], với \[x,\,y > 0\]

Ta có: \[HE + KF = 20 \Rightarrow x + y = 20\], \[\left\{ \begin{array}{l}AE = \sqrt {16 + {x^2}} \\BF = \sqrt {36 + {y^2}} = \sqrt {36 + {{\left( {20 - x} \right)}^2}} \end{array} \right.\]

Nhận xét: Vì \[EF\] không đổi nên \[AB\] ngắn nhất khi \[AE + BF\] nhỏ nhất.

Ta có \[AE + BF\]\[ = \sqrt {{x^2} + 16} + \sqrt {{{\left( {20 - x} \right)}^2} + 36} = \sqrt {{x^2} + 16} + \sqrt {{x^2} - 40x + 436} = f\left( x \right)\]

Đạo hàm \[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} + \frac{{x - 20}}{{\sqrt {{x^2} - 40x + 436} }} = 0 \Rightarrow x = 8,\,\forall x \in \left( {0;20} \right)\]\[\]

Bảng biến thiên

$Hai thành phố $A$ và $B$ cách nhau một c (ảnh 2)$

Vậy $HE = 8$km