Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu E F bắc qua sông biết rằng thành phố A cách con sông một khoảng là 4 km và thành phố B cách con sông một
46/55
Hai thành phố \(A\) và \(B\) cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu \(EF\) bắc qua sông biết rằng thành phố \(A\) cách con sông một khoảng là \(4\)km và thành phố \(B\) cách con sông một khoảng là \(6\)km (hình vẽ), biết \(HE + KF = 20\)km và độ dài \(EF\) không đổi. Hỏi xây cây cầu cách thành phố \(A\) là bao nhiêu kilomet để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường \(AEFB\))? (kết quả làm tròn đến phần chục)
Đặt \[HE = {x_{}}{,_{}}FK = y\], với \[x,\,y > 0\].
Ta có: \[HE + KF = 20 \Rightarrow x + y = 20\], \[\left\{ \begin{array}{l}AE = \sqrt {16 + {x^2}} \\BF = \sqrt {36 + {y^2}} = \sqrt {36 + {{\left( {20 - x} \right)}^2}} \end{array} \right.\].
Nhận xét: Vì \[EF\] không đổi nên \[AB\] ngắn nhất khi \[AE + BF\] nhỏ nhất.
Ta có \[AE + BF\]\[ = \sqrt {{x^2} + 16} + \sqrt {{{\left( {20 - x} \right)}^2} + 36} = \sqrt {{x^2} + 16} + \sqrt {{x^2} - 40x + 436} = f\left( x \right)\].
Đạo hàm \[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} + \frac{{x - 20}}{{\sqrt {{x^2} - 40x + 436} }} = 0 \Rightarrow x = 8,\,\forall x \in \left( {0;20} \right)\].
Bảng biến thiên
Vậy \(AE = \sqrt {{8^2} + 16} \approx 8,94\)km.
Đáp án: 8,94.